Kalkulator równań i nierówności pozwala na: rozwiązywanie prostych równań jednej zmiennej oraz prostych nierówności; upraszczanie funkcji jednej lub dwóch zmiennych oraz upraszczanie obliczenia prezentowane są krok po kroku, dzięki czemu możesz dokładnie prześledzić sposób rozwiązania danego równanie lub nierówność do rozwiązania albo wyrażenie do uproszczenia, korzystając z klawiatury lub panelu poniżej. Zobacz również Kalkulator równań i nierówności Czy wiesz, że możesz bez skomplikowanego liczenia wykonać rozwiązywanie równań? Program online Ci to umożliwi. Został stworzony do wykonywania takich działań jak proste równania czy wielomiany. Kalkulator służy również do liczenia nieskomplikowanych nierówności; upraszczania funkcji jednej lub dwóch zmiennych oraz upraszczania wyrażeń. Po prostu wpisz dane i oblicz to! Rozwiązywanie równań - program Oblicz nierówność to jedno z podstawowych zadań do wykonania na lekcji matematyki. Do tego, jak obliczyć równanie, służą wzory, za pomocą których można na przykład wykonać rozwiązywanie równań z ułamkami, rozwiązywanie nierówności wymiernych czy przeprowadzić równanie z dwiema niewiadomymi. Kalkulator nie zwalnia ze zdobycia wiedzy, jak się rozwiązuje nierówności. Stanowi za to niezastąpione wsparcie w nauce takich działań jak: równości i nierówności czy wielomiany. Kalkulator okazuje się też niezastąpiony, gdy nie masz pewności co do uzyskanego wyniku działania albo po prostu brakuje Ci czasu na rozwiązywanie równań. Program online szybko wykona działanie. Jednocześnie pomoże Ci zrozumieć cały proces liczenia. Wszystkie obliczenia (takie jak np. obliczanie niewiadomej) są bowiem prezentowane krok po kroku, dzięki czemu możesz dokładnie prześledzić sposób rozwiązania danego zagadnienia. Jak obliczyć równanie? Korzystając z klawiatury lub panelu wprowadzaj równości i nierówności do rozwiązania albo wyrażenie do uproszczenia. Następnie oblicz to, wybierając przycisk ROZWIĄŻ/UPROŚĆ WYRAŻENIE. Niniejsze narzędzie pozwala na:1) Rozwiązywanie prostych równań jednej zmiennej. Przykładowe równanie możliwe do rozwiązania: 9x + 4 - 3 = 2x2) Rozwiązywanie prostych nierówności. Np. 9,5x/6 + 5,5x > 3⋅(5x - 2)3) Upraszczanie funkcji jednej lub dwóch zmiennych. Np. 2x+(1+4)⋅x lub 2y+(1+4)⋅x+|2|⋅y4) Upraszczanie wyrażeń np. 6⋅10+23⋅(1−4)⋅|-5|5) Działania na ułamkach zwykłych np. 1/3+2/4 Wszystkie obliczenia prezentowane są krok po kroku, dzięki czemu możliwe jest prześledzenie sposobu rozwiązania danego zagadnienia. Ma to szczególne znaczenie podczas nauki rozwiązywania równań i nierówności oraz poznawania zasad przekształceń algebraicznych. W chwili obecnej równania, nierówności i wyrażenia mogą zawierać jedynie następujące operacje:- dodawanie- odejmowanie- mnożenie- dzielenie- potęgowanie- wartość bezwzględna.

Jeśli mamy podane konkretne wartości liczbowe, które podejrzewamy, że należą do zbioru rozwiązań nierówności, możemy podstawić te wartości do obu stron nierówności i zobaczyć, czy nierówność jest spełniona. Liczby podane przy nierównościach sprawdzimy w sposób podany powyżej. a) - nierówność spełniona. - sprzeczność.

waga Użytkownik Posty: 370 Rejestracja: 29 gru 2009, o 19:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Poznań Podziękował: 45 razy Pomógł: 8 razy Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Proszę mi o sprawdzenie zadania typu wykaż że. Treść zadania:Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4a^2+1 \ge 4a}\) Rozwiązałem to w ten sposób wyrażenie znajdujące się po prawej stronie przenoszę na lewą czyli \(\displaystyle{ 4a^2-4a+1 \ge 0}\) Wyrażenie po prawej stronie zwijam z wzoru skróconego mnożenia w \(\displaystyle{ (2a+1)^2 \ge 0}\) I tu jest moja wątpliwość Wszystko co podniesione do kwadratu dla liczbę dodatnia czyli wiekszą od \(\displaystyle{ 0}\) ale nie będzie równa o odpowiedz. smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Post autor: smigol » 3 lip 2010, o 16:00 waga pisze:Proszę mi o sprawdzenie zadania typu wykaż że. Treść zadania:Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4a^2+1 \ge 4a}\) Rozwiązałem to w ten sposób wyrażenie znajdujące się po prawej stronie przenoszę na lewą czyli \(\displaystyle{ 4a^2-4a+1 \ge 0}\) Wyrażenie po prawej stronie zwijam z wzoru skróconego mnożenia w \(\displaystyle{ (2a+1)^2 \ge 0}\) I tu jest moja wątpliwość Wszystko co podniesione do kwadratu dla liczbę dodatnia czyli wiekszą od \(\displaystyle{ 0}\) ale nie będzie równa o odpowiedz. Źle zwinąłeś do kwadratu, ale to kwestia tylko znaku minus zamiast plus. A co do Twojej wątpliwości: ile wynosi \(\displaystyle{ 0^2}\)? waga Użytkownik Posty: 370 Rejestracja: 29 gru 2009, o 19:49 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Poznań Podziękował: 45 razy Pomógł: 8 razy Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Post autor: waga » 3 lip 2010, o 16:51 Zgadza się źle zwinąłem powinno być \(\displaystyle{ (2a-1)^2 \ge 0}\) i \(\displaystyle{ 0^2=0}\) Gdybym takie zadanie na maturze tak bym zrobił to bym miał dobrze czy trzeba jakiś komentarz dodać? smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Post autor: smigol » 3 lip 2010, o 17:01 Możesz jeszcze napisać, że przekształcenia danej nierówności były równoważne, zatem nierówność z zadania jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ (2a-1)^2 \ge 0}\), która jest prawdziwa ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej jej kwadrat jest nieujemny. Aczkolwiek myślę, że za to co napisałeś dostałbyś maxa. Oczywiście zastępując to: Wszystko co podniesione do kwadratu dla liczbę dodatnia czyli wiekszą od ale nie będzie równa zero., tym: Każda liczba podniesiona do kwadratu da liczbę dodatnią lub równą zero. kasztan17 Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 14 sty 2009, o 16:57 Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Post autor: kasztan17 » 1 lis 2010, o 12:42 Sorki że odświeżam, ale ja ten przykład rozwiązałem inaczej. \(\displaystyle{ 4a^{2} + 1 \ge 4a}\) czyli \(\displaystyle{ 4a^{2} -4a +1 \ge 0}\) czyli miejsce zerowe to: \(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}}\) Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc wszystke, wykres nie przecina osi X, więc....udowodniłem? Dobrze to rozwiązałem? johnny1591 Użytkownik Posty: 327 Rejestracja: 6 lis 2009, o 18:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 23 razy Pomógł: 28 razy Wykaż że dla każdej liczby rzeczywistej a. Post autor: johnny1591 » 5 lis 2010, o 00:46 x zerowe wyjdzie co prawda 0,5 . Ale komentarz kolego do zadania jeszcze: Ponieważ \(\displaystyle{ f(a)=4a^{2}-4a+1}\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, zatem prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 4a^{2}-4a+1 \ge 0}\), więc \(\displaystyle{ 4a^{2}+1 \ge 4a \ \mathrm{

Znajdź odpowiedź na Twoje pytanie o Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność 2^2n ≥ 2^n+3 - 16 kasjan222 kasjan222 27.12.2018

Nierówność z jedną niewiadomą jest to jedna z następujących form zdaniowych: gdzie f, g oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną x nazywamy niewiadomą. Pierwsze dwie nierówności nazywamy ostrymi, ostatnie dwie - nieostrymi. Przykłady nierówności Oto kilka przykładów nierówności: (tutaj niewiadomą jest m). Dziedzina nierówności Dziedzina nierówności jest to część wspólna dziedzin funkcji f, g. Przykład Jaka jest dziedzina nierówności ? Dziedziną jest , a wyrażenia jest zbiór . Zatem dziedziną tej nierówności jest zbiór Rozwiązywanie nierówności Rozwiązanie nierówności jest to każda liczba, która spełnia tę nierówność. Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tej nierówności. Aby rozwiązać nierówność należy znaleźć jej zbiór rozwiązań. Rozwiązanie nierówności najlepiej jest przedstawiać w postaci przedziału liczbowego. Nierówności są równoważne jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań. Jeżeli nierówność nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to nazywamy ją sprzeczną. Przykład Przykład nierówności równoważnych: x+1>2 i x-1>0. Przykład nierówności sprzecznej: x20, obliczamy 1-4>0, co daje nam zdanie fałszywe -3>0. Liczba 1 nie spełnia więc naszej nierówności. Jak rozwiązać nierówność? Stosujemy pewne metody rozwiązywania nierówności. Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązujemy różne typy nierówności: Jak rozwiązać nierówność liniową? Jak rozwiązać nierówność kwadratową? Jak rozwiązać nierówność algebraiczną? Jak rozwiązać nierówność wykładniczą? Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną? Jak rozwiązać nierówność trygonometryczną? Metoda nierówności równoważnych Zadania z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Nierówność Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom podstawowy)Jedną z liczb, które spełniają nierówność jest: A. 1 B. -1 C. 2 D. -2Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom podstawowy)Do zbioru rozwiązań nierówności (x4 + 1)(2 - x) > 0 nie należy: A. -3 B. -1 C. 1 D. 3Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiRównanieRównanie - wiadomości podstawoweRozwiązywanie równańMetoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do nierównościMetoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w tak, aby każde kolejne było równoważne i łatwiejsze do analizy starożytnychMetoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze i spełniające rozwiązania równania wyjściowego. Test wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2009-06-22, ART-239 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

^{Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że współrzędna q wierzchołka wykresu funkcji f jest równa – 7. Możemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów. sposób I. Obliczamy wyróżnik funkcji f. Δ = 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ c = 16 - 4 c. Podstawiamy do wzoru q = - Δ 4 a. q = - Δ 4 a = - 16 - 4 c 4 ⋅ 1 = - 7. Stąd 4 c - 16} ^{© ® Media Nauka 2008-2022 r. Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie się z naszą Polityką ZGODY ZGODA}

Rozwiązanie zadania z matematyki: Dane są trzy liczbya=(2√ [3]{2})^3, b=√ {18}∙ √ {8}, c=√ [3]{108}:√ [3]{4}Która nierówność jest prawdziwa? {A) a

Przejdź do treściAkademia Matematyki Piotra CiupakaMatematyka dla licealistów i maturzystów Strona głównaDlaczego warto?O mnieOpinieKontaktChce dołączyć!Opublikowane w przez Wykaż, że prawdziwa jest nierówność (1,5)100<625Chcę dostęp do Akademii! Dodaj komentarz Musisz się zalogować, aby móc dodać wpisuPoprzedni wpis Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC w punkcie że jeżeli |AD|=|BD|, to |CD|=1/2⋅|BD|.Następny wpis Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równa 30. Ponadto a30=30. Oblicz różnicę tego ciągu.

Wykaz, że prawdziwa jest nie równość (1,5) ^100 < 6^25 Natychmiastowa odpowiedź na Twoje pytanie. klaifusiaowmslc klaifusiaowmslc 18.04.2020 nierówność jest prawdziwa?A. B. C. D. 2. Watykan jest najmniejszym suwerennym państwem na świecie. Jego powierzchnia wynosi . Oblicz powierzchnię Watykanu w metrach kwadratowych i zapisz wynik w notacji wykładniczej. 3. Oblicz: 4. Podnieś do potęgi: a) b) kotpies12 nierówność jest prawdziwa?C. 2. Watykan jest najmniejszym suwerennym państwem na świecie. Jego powierzchnia wynosi 0,445km2. Oblicz powierzchnię Watykanu w metrach kwadratowych i zapisz wynik w notacji wykładniczej. 0,445km2=445000m2=3. Oblicz: do potęgi: a) b) More Questions From This User See All

Która równość jest prawdziwa A.√4+16=6 B.√16-9=1 C.√111=11 D.√25-9=4 Zobacz odpowiedzi z lewej wsztstko Z lewej strony w obu zadaniach wszystko jest pod

nierówność lisa: nierówność 3(1−x)+x>3(3−2x) jest prawdziwa dla a)x=−2 b)a=3/2 c)a= √2 d) √5 z góry dziękuję 28 lut 16:52 tim: 3 − 3x + x > 9 − 6x 3 − 2x > 9 − 6x 4x > 6 x > 3/2 28 lut 17:26 tim: Która z odpowiedzi jest x > 1,5 28 lut 17:26

3√64 =4 64 3 = 4. Wiec nierownosc nie jest prawdziwa gdyz: 3√56 < 3√64 =4 56 3 < 64 3 = 4. e/. 1 3 3√9= 3√ 1 27 ∗9= 3√1 3 1 3 9 3 = 1 27 ∗ 9 3 = 1 3 3. Zauważ, że 3√1 3 1 3 3 musi byc ulamkiem wlasciwym. A kazdy ulamek wlasciwy jest mniejszy od 1. Wiec nierownosc rowniez nie jest prawdziwa. f/.

Szczegóły Odsłony: 7500 Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy. Przykład 1 Wyznacz dziedzinę nierówności: a) b) c) Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą. Przykład 2 Sprawdzimy, czy liczba oraz spełnia nierówność dla mamy Liczba nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa dla mamy Liczba spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa. Definicja 1 Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność. Definicja 2 Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność. Przykład 3 Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności: a) Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że nierówność jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału b) Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału Definicja 3 Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie. Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną. Przykład 4 Rozwiąż nierówność: a) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału b) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału c) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Zauważamy, że wyrażenie jest liczbą ujemną, gdyż , zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału Definicja 4 Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności. Przykład 5 Rozwiąż nierówność . Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową. Definicja 5 Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności. Przykład 6 Rozwiąż nierówność . Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność . Obejrzyj rozwiązanie: Nierówności - definicje, przykłady Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od 1, jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich. Wobec tego. wyrażenie lo g 3 x-5 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność x-5 > 0, czyli dla x > 5. wyrażenie log 2 2 x + 7 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność 2 x Dziedziną nierówności z jedną niewiadomą nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia tworzące nierówność mają sens liczbowy. Przykład 1 Wyznacz dziedzinę nierówności: a) b) c) Liczba spełnia nierówność z jedną niewiadomą, jeśli po podstawieniu tej liczby do nierówności w miejsce niewiadomej otrzymamy nierówność arytmetycznie prawdziwą. Przykład 2 Sprawdzimy, czy liczba oraz spełnia nierówność dla mamy Liczba nie spełnia nierówności , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest fałszywa dla mamy Liczba spełnia nierówność , gdyż po podstawieniu jej otrzymaliśmy nierówność arytmetyczną, która jest prawdziwa. Definicja 1 Rozwiązaniem nierówności z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, należącą do dziedziny nierówności, która spełnia tę nierówność. Definicja 2 Rozwiązać nierówność z jedną niewiadomą, to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność lub wykazać, że nie istnieją liczby spełniające tę nierówność. Przykład 3 Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności: a) Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że nierówność jest spełniona tylko wtedy, gdy mianownik ułamka będzie liczbą dodatnią, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału b) Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczby zero, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału Definicja 3 Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same zbiory rozwiązań w tej dziedzinie. Nierównością liniową nazywamy nierówność, którą można zastąpić nierównością równoważną. Przykład 4 Rozwiąż nierówność: a) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału b) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Mnożąc lub dzieląc strony nierówności prze liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny, zatem Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału c) Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Zauważamy, że wyrażenie jest liczbą ujemną, gdyż , zatem zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny Przedstawiamy graficznie nasze rozwiązanie i zapisujemy je w formie przedziału Definicja 4 Nierównością tożsamościową nazywamy nierówność, która jest spełniona przez każdą liczbę należącą do dziedziny tej nierówności. Przykład 5 Rozwiąż nierówność . Wyznaczamy dziedzinę Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby rzeczywistej, co oznacza, że nasza nierówność jest nierównością tożsamościową. Definicja 5 Nierównością sprzeczną nazywamy nierówność, której nie spełnia żadna liczba należąca do dziedziny tej nierówności. Przykład 6 Rozwiąż nierówność . Wyznaczamy dziedzinę Rozwiązujemy nierówność Zauważamy, że wyrażenie jest zawsze liczbą dodatnią lub zerem, zatem nie istnieje liczba, która spełniałaby nierówność . Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony. Odpowiedź: Udowodniono przekształcając podane równanie.

1. Która z poniższych równości nie jest prawdziwa? A. tg45o•tg60o = √3 B. (sin〖45〗^o)/(cos〖60〗^o ) = √2 C. (sin〖60〗^0)/(sin〖30〗^0 ) = √3 D. cos45o•ctg30o = √6 2. W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kąów wynosi 1/5. Wynika stąd, że: A. przeciwprostokątna ma długość 5 B. cosinus tego kąta wynosi 4/5 C. jedna z przyprostokątnych ma długość 1 D. jedna z przyprostokątnych jest pięć razy krótsza od przeciwprostokątnej 3. Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego zachodzi równość cosα = 4/5, zatem: A. sinα = 5/4 B. tgα = 3/4 C. sinα = 1/2 D. tgα = 4/3 4. Oblicz obwód i pole trapezu równoramiennego o podstawach 6 i 8 i kącie ostrym 60o. 5. Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością: cosα + tgα = 1/cosα. 6. Liczba 〖log〗_√327 jest równa: A. 0,5 B. 1,5 C. 5 D. 6 7. Która z poniższych równości jest prawdziwa? A. 〖log〗_(2√2)8 = 2 B. 〖log〗_2 2√2 = 2,5 C. 〖log〗_82 = -3 D. 〖log〗_48 = √2 8. Która równość jest nieprawdziwa? A. log354 – log36 = 2 B. log64√3 + log6 9√2 = 2,5 C. log 2√5 + log √5 = 2 D. log2∛16 – log2 ∛2 = 1 9. Ustaw liczby od największej do najmniejszej: a = log312 + log3 3/4 b = log50,1 – log50,5 c = log7∛49 10. Rozwiąż nierówność m – 8x ≥ 0, jeżeli m = log_√3 9 Odpowiedzi: 0 Report Reason Reason cannot be empty

^{Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej z, prawdziwa jest nierówność 2015-06-23 23:40:53; Którą z liczb należy wstawić w miejsce gwiazdki,aby nierówność *} Poniżej prezentuje typy zadań najczęściej pojawiające się na maturze podstawowej z matematyki w nowej formule (od 2015 roku). Pewniaki są aktualne dla najbliższej matury 2022. Polecam również przerobić zadania treningowe od CKE Wśród podanych przykładów znajdują się jedynie wybrane typy zadań. Pełną wiedzę niezbędną do zdania matury na 100% znajdziesz w kursie do matury podstawowej. Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 .Typ I - zadania z potęg i pierwiastków Na maturze bardzo często pojawiają się zadania sprawdzające umiejętność wykonywania działań na potęgach, pierwiastkach. Oto przykłady takich zadań:Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa A.\( 4^4 \) B.\( 20^{16} \) C.\( 20^5 \) D.\( 4 \) DDla każdej dodatniej liczba \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy A.\( a^{-3{,}9} \) B.\( a^{-2} \) C.\( a^{-1{,}3} \) D.\( a^{1{,}3} \) ALiczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa A.\( 45^{40} \) B.\( 45^9 \) C.\( 9^4 \) D.\( 5^4 \) DLiczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa A.\( \sqrt{\frac{16}{63}} \) B.\( \frac{16}{3\sqrt{7}} \) C.\( 1 \) D.\( \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} \) BTyp II - procenty Równie często na maturze podstawowej pojawiają się zadania z procentów (zazwyczaj jest jedno takie zadanie za 1 punkt) tego typu:Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że A.\( c=1{,}5a \) B.\( c=1{,}6a \) C.\( c=0{,}8a \) D.\( c=0{,}16a \) AButy, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów? A.\( 80 \) B.\( 20 \) C.\( 22 \) D.\( 44 \) BDany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) DKwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa A.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) B.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) C.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) D.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) ATyp III - logarytmy Na maturze praktycznie zawsze pojawia się przynajmniej jedno zadanie na liczenie logarytmów. Oto przykładowe zadania:Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa A.\( \frac{3}{2} \) B.\( 2 \) C.\( \frac{5}{2} \) D.\( 3 \) DLiczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa A.\( \log_6693 \) B.\( 3 \) C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \) D.\( 4 \) BDane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy A.\( 3 \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( -\frac{1}{3} \) D.\( -9 \) CWartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) CTyp IV - równania i nierówności liniowe oraz funkcja liniowa Jednym z ważniejszych pojęć na maturze podstawowej jest funkcja liniowa i związane z nią równania oraz nierówności. Zazwyczaj z tego zagadnienia pojawia się na maturze od 2 do 5 zadań. Z funkcji liniowych szczególnie często zdarzają się zdania sprawdzające umiejętność liczenia miejsc zerowych, oraz badanie równoległości i prostopadłości \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\) dokładnie dwa rozwiązania \( x=0 \), \(x=1\) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=-1 \) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=0 \) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=1 \) ARównanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\ne -5\), ma rozwiązań rzeczywistych. dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. ANajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest A.\( -14 \) B.\( -13 \) C.\( 13 \) D.\( 14 \) BNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest A.\( -2 \) B.\( -1 \) C.\( 0 \) D.\( 1 \) CRówność \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla A.\( m=-5 \) B.\( m=1 \) C.\( m=4 \) D.\( m=5 \) CDana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( -6 \) D.\( -8 \) DFunkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że A.\( b=-\frac{8}{3} \) B.\( b=\frac{4}{3} \) C.\( b=4 \) D.\( b=-\frac{3}{2} \) AWykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych A.\( (0,-3) \) B.\( (-3,0) \) C.\( (0,2) \) D.\( (0,3) \) AProsta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem: A.\( m=2 \) B.\( m=-2 \) C.\( m=-2-2\sqrt{2} \) D.\( m=2+2\sqrt{2} \) AProste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla A.\( m=-\frac{1}{2} \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) AProste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy A.\( m=2 \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=\frac{1}{3} \) D.\( m=-2 \) CTyp V - równania i nierówności kwadratowe oraz funkcja kwadratowa Zadania związane z funkcją kwadratową, to na każdej maturze punkt obowiązkowy. Musimy umieć znajdować miejsca zerowe funkcji kwadratowej (czyli rozwiązywać równania kwadratowe), wierzchołek oraz zapisywać w różnych postaciach funkcję kwadratową (ogólna, iloczynowa i kanoniczna). Musimy również umieć rysować wykresy funkcji kwadratowej, co szczególnie przydaje się podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych (praktycznie zawsze pojawia się na maturze takie zadanie za 2 punkty). Często również pojawiają się zadania na znajdowanie wartości ekstremalnych funkcji kwadratowych na przedziałach domkniętych. Dokładniejsze omówienie tych wszystkich zagadnień znajdziesz w kursie do matury podstawowej (części: 14-15 oraz 26-30), a poniżej przykładowe, najczęstsze typy zadań:Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla A.\( a=3 \) B.\( a=1 \) C.\( a=-2 \) D.\( a=-3 \) AOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).\(f_{max}=3\) oraz \(f_{min}=-6\)Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\).\(x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )\)Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).\(x\in (0;2)\)Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).\(x\in \langle 2;3\rangle \)Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)\(x\in (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 2,+\infty )\)Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).\(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\)Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1;2 \rangle \) jest równa A.\( 2 \) B.\( 5 \) C.\( 8 \) D.\( 9 \) BJeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek A.\( a\lt -1 \) B.\( -1\le a\lt 0 \) C.\( 0\le a\lt \frac{1}{3} \) D.\( a\gt \frac{1}{3} \) DFunkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \). \(-30\frac{1}{4}\)Typ VI - różne zadania z funkcji Częstym na maturze zdarza się zadanie, w którym należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji danej na wykresie, lub odgadnąć przesunięcie. Oto przykładowe takie zadania:Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest A.\( (-2,2\rangle \) B.\( \langle -2,2\rangle \) C.\( \langle -2,2) \) D.\( (-2,2) \) ANa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział A.\( (-\infty ;-2\rangle \) B.\( \langle -2;4 \rangle \) C.\( \langle 4;+\infty ) \) D.\( (-\infty ;9\rangle \) DGdy przesuniemy wykres funkcji \(f(x)=2x-3\) o \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem A.\( y=2(x-2)+4 \) B.\( y=2(x-2)-4 \) C.\( y=2(x-2)+1 \) D.\( y=2(x+2)+4 \) CFunkcja \(g\) jest określona wzorem A.\( g(x)=f(x-1) \) B.\( g(x)=f(x)-1 \) C.\( g(x)=f(x+1) \) D.\( g(x)=f(x)+1 \) BTyp VII - układy równań Często na maturze jest jedno zadanie z układu równań następujących typów:Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \) ma rozwiązań. dokładnie jedno rozwiązanie. dokładnie dwa rozwiązania. nieskończenie wiele rozwiązań. DUkład równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie nieskończony. 2 różne punkty. jeden punkt. pusty. CTyp VIII - wartość bezwzględna i błędy Czasami na maturze jest jedno zadanie z wartości bezwzględnej lub błędów względnych i bezwzględnych. Oto przykładowe zadania jakie mogą się pojawić:Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa A.\( 2 \) B.\( -2 \) C.\( 0 \) D.\( -4 \) BW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. kolejne lata123456 przyrost (w cm)10107887 Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.\(4\%\)Typ IX - trygonometria Zadania z trygonometrii pojawiają się a każdej maturze podstawowej. Oto najczęstsze typy:Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} \) B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} \) C.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} \) D.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} \) CLiczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie A.\( \cos 60^\circ \) B.\( \cos 120^\circ \) C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \) D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \) ADany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \) B.\( \cos \beta =\frac{\sqrt{6}}{3} \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) D.\( \operatorname{tg} \beta =\frac{\sqrt{6}}{2} \) BDana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\).\(\frac{1}{1-a^2}\)Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa A.\( 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} \) B.\( 2+\frac{\sqrt{3}}{2} \) C.\( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \) D.\( 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} \) DW układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \) D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \) BTyp X - ciąg arytmetyczny i geometryczny Zadania z ciągów zawsze pojawiają się na maturze. Zawsze są przynajmniej dwa zadania z tego zagadnienia. Poniżej prezentuję najczęstsze typy zadań z ciągów:Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A.\( \frac{37}{2} \) B.\( -\frac{37}{2} \) C.\( -\frac{5}{2} \) D.\( \frac{5}{2} \) AWszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba A.\( 77 \) B.\( 84 \) C.\( 91 \) D.\( 98 \) CW rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy A.\( q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) B.\( q=\frac{1}{3} \) C.\( q=3 \) D.\( q=\sqrt[3]{3} \) DTrójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla A.\( x=-3 \) B.\( x=-1 \) C.\( x=0 \) D.\( x=2 \) ACiąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A.\( -4 \) B.\( 1 \) C.\( 0 \) D.\( -1 \) DTyp XI - geometria płaska W geometrii najczęściej przydaje się nam twierdzenie Pitagorasa i musimy je umieć stosować na blachę (jest ono również bardzo przydatne w geometrii przestrzennej). Zadania z geometrii zazwyczaj nie są szablonowe, więc trudno tu podać konkretne typy jako pewniaki. Na pewno można wyróżnić zadania z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu - często się pojawiają na maturze. Także często pojawia się podobieństwo \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100^\circ \). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ \) (zobacz rysunek). Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę A.\( 15^\circ \) B.\( 20^\circ \) C.\( 25^\circ \) D.\( 30^\circ \) CW okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A.\( 40^\circ \) B.\( 50^\circ \) C.\( 20^\circ \) D.\( 25^\circ \) APrzedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość A.\( 8 \) B.\( 8{,}5 \) C.\( 9{,}5 \) D.\( 10 \) BOkręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe A.\( 14 \) B.\( 2\sqrt{33} \) C.\( 4\sqrt{33} \) D.\( 12 \) BTyp XII - geometria przestrzenna Zadania ze stereometrii często pojawiają się za większa liczbę podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze A.\( 30^\circ \) B.\( 45^\circ \) C.\( 60^\circ \) D.\( 75^\circ \) BWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\(P=144+384\sqrt{2}\)Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa. \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa A.\( 36\pi \) B.\( 18\pi \) C.\( 24\pi \) D.\( 8\pi \) DTrójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. \(V=21\sqrt{7}\)Typ XIII - geometria analityczna Z geometrii analitycznej na pewno musimy umieć liczyć długość odcinka, wyznaczać równania prostych przechodzących przez dwa punkty, a także równoległych i prostopadłych, wyznaczać środek odcinka. Oto przykładowe zadania z tych zagadnień:W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że A.\( a=5 \) i \(b=5\) B.\( a=-1 \) i \(b=2\) C.\( a=4 \) i \(b=10\) D.\( a=-4 \) i \(b=-2\) BNa rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) tego rombu. Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu. A.\( y=-\frac{2}{3}x+\frac{11}{3} \) B.\( y=-\frac{3}{2}x+4 \) C.\( y=-x+4 \) D.\( y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \) DOkręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( 5 \) D.\( \frac{5}{2} \) CW układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).\(x=-7\)Typ XIV - statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Ze statystyki najczęściej pojawiają się zadania związane ze średnią arytmetyczną i medianą. Zadania z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa zawsze opierają się na regule mnożenia i dodawania (zadani z kostkami i monetami, losowanie kul lub liczb ze zbioru).Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem A.\( x=-51 \) B.\( x=-6 \) C.\( x=10 \) D.\( x=29 \) AŚrednia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9\] jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9,x.\] Wynika stąd, że A.\( x=3 \) B.\( x=5 \) C.\( x=6 \) D.\( x=0 \) CŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa A.\( 26 \) B.\( 27 \) C.\( 28 \) D.\( 29 \) CW każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy A.\( p=\frac{3}{8} \) B.\( p=\frac{1}{4} \) C.\( p=\frac{2}{3} \) D.\( p=\frac{1}{2} \) ARzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A.\( 0\le p\le 0{,}2 \) B.\( 0{,}2\le p\le 0{,}35 \) C.\( 0{,}35\lt p\le 0{,}5 \) D.\( 0{,}5\lt p\le 1 \) CIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)? A.\( 12 \) B.\( 24 \) C.\( 29 \) D.\( 30 \) DZe zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\). \(\frac{4}{21}\) Pewniaki na STARĄ podstawę programową Poniżej prezentuję pewniaki do "starej" podstawy programowej. Cena towaru bez podatku VAT jest równa \(60\) zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości \(22\%\) kosztuje A.\( 73{,}20 \) zł B.\( 49{,}18 \) zł C.\( 60{,}22 \) zł D.\( 82 \) zł ASamochód kosztował \(30000\) zł. Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował A.\( 24400 \) zł B.\( 24700 \) zł C.\( 24000 \) zł D.\( 24300 \) zł DIloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy A.\( 3^4 \) B.\( 3^0 \) C.\( 3^{16} \) D.\( 3^{14} \) CRóżnica \(\log_{3}9-\log_{3}1\) jest równa A.\( 0 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 3 \) CWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A.\( |x-1| \lt 3 \) B.\( |x+1| \lt 3 \) C.\( |x+1| > 3 \) D.\( |x-1| > 3 \) BWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-2| \ge 3\). BKwadrat liczby \(x=5+2\sqrt{3}\) jest równy A.\( 37 \) B.\( 25+4\sqrt{3} \) C.\( 37+20\sqrt{3} \) D.\( 147 \) CRównanie \(\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0\) ma rozwiązań. dokładnie jedno rozwiązanie. dokładnie dwa rozwiązania. dokładnie cztery rozwiązania. CWskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa \(f(x)=(m−1)x+6\) jest rosnąca A.\( m=-1 \) B.\( m=0 \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) DW ciągu arytmetycznym \((a_n)\) mamy: \(a_2=5\) i \(a_4=11\). Oblicz \(a_5\). A.\( 8 \) B.\( 14 \) C.\( 17 \) D.\( 6 \) BW ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) i \(a_2=12\). Wtedy A.\( a_4=26 \) B.\( a_4=432 \) C.\( a_4=32 \) D.\( a_4=2592 \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) D.\( \frac{7}{16} \) CProsta \(l\) ma równanie \(y=-\frac{1}{4}x+7\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\). A.\( y=\frac{1}{4}x+1 \) B.\( y=-\frac{1}{4}x-7 \) C.\( y=4x-1 \) D.\( y=-4x+7 \) CProste o równaniach \(y=2x+3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2\) równoległe i różne prostopadłe się pod kątem innym niż prosty się CRozwiąż nierówność \(x^2−14x+24 \gt 0\).\(x\in (-\infty ;2)\cup (12;+\infty )\)Rozwiąż równanie \(x^3−3x^2+2x−6=0\).\(x=3\)Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?\(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/h

0,130 > 0,1190,13 < 0,30Odp. A i B. oblicz ile wynosi jedna krawędź sześcianu jeżeli pole powierzchni całkowitej tej bryły wynosi 150 cm²

martyśka038 zapytał(a) o 18:25 Która nierówność jest prawdziwa ? Ułamki ; a) dwie piąte >cztery piąte b) jedna szósta dziewięć ósmych d) trzy czwarte 4/5błądb) 1/6 9/88/9 > 1 1/8błądd)3/4 < 3/5błąd 0 0 Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub Kliknij tutaj, 👆 aby dostać odpowiedź na pytanie ️ Daje naj!! Która nierówność jest prawdziwa?Potrzebuję na już!!

4. Która nierówność jest prawdziwa? A. (-15)' > C (-3)* (-0,6)

^{Odpowiedzi (1) Porównując ułamki dziesiętne, najpierw porównujemy części całkowite. Jeżeli te są równe, porównujemy części ułamkowe: dziesiętne, setne, tysięczne itd. Część liczby, która jest w nawiasie, powtarza się w nieskończoność, np. 0, (2)=0,222222 0, (87)=0,87878787 Są to tzw. ułamki okresowe.}

dowód Radek: Niech m ,n ∈ R + , udowodnij, że jeżeli m + n = 1 to prawdziwa jest nierówność 1 1 +≥4 m n 1≥4mn /4 21 lut 20:06 Mila: dalej tak: m,n∊ i m+n=1⇔m=1−n Zbadamy jakie wartości przyjmuje funkcja f(n)=n*(1−n) f(n)=n−n2 f(n)=−n2+n −1 1 nw== −2 2 1 1 1 1 f()=−+= najwieksza wartość funkcji f(n)⇔ 2 4 2 4 21 lut 20:22 Saizou : skorzystaj z nierówności o średnich teraz np. am≥gm 21 lut 20:24 Radek: I to jest prawidłowo ? Nie trzeba pisać żadnych komentarzy ? 21 lut 20:24 Saizou : ech czemu napisałem am≥gm miało być am≥hm 1 1 +≥4m n 21 lut 20:33 Mila: Po wykonaniu przekształceń równoważnych otrzymano nierówność prawdziwą, zatem nierówność: 1 1 +≥4 jest prawdziwa dla podanych n Możesz wykażać inaczej, jak radzi Saizou. Jednak chyba będzie to trudniejsze. 21 lut 20:36 Radek: A to nie jest tak, że to powinno się przepisywać od końca ? Zrobić na brudno i potem przepisać ? Tak czytałem. 21 lut 20:37 Saizou : na poziomie LO, co jest dziwne, można wychodzić od tezy, ale wtedy ładniej wygląda dowód nie wprost n. dla Twojego zadania, Dowód nie wprost zakładam że teza jest fałszywa, czyli 1 1 + 0 . x4−x3+x2+x2−x+1>0 x2(x2−x+1)+(x2−x+1)>0 (x2−x+1)(x2+1)>0 Δ0 dla każdego x∊R i x2−x+1 >0 dla każdego x∊R , bo brak miejsc zerowych i parabola ramionami do góry to (x2−x+1)*(x2+1) >0 dla x∊R 21 lut 22:39 Radek: A czy mogła by Pani jeszcze pomóc mi w kilku zadaniach ? 21 lut 22:40 Mila: Pisz, pomożemy. Albo ja albo Eta. 21 lut 22:47 Eta: 21 lut 22:47 Mila: Eto Jak dzisiaj głowa? Pogoda sprzyja? 21 lut 22:49 Eta: Witaj Mila O tak, dzisiaj już jest ok 21 lut 22:50 Radek: Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to (a+b)(c+d)≥4√abcd. (a+b)(c+d)≥4√abcd (ac+ad+bc+cd)2≥4abcd Tędy droga ? 21 lut 22:51 Eta: Wskazówka : a+b≥2√ab i c+d≥2√ab i pomnóż stronami ( bo obydwie strony dodatnie) 21 lut 22:55 Saizou : skorzystaj z nierówności o średnich am≥gm a+b≥2√ab c+d≥2√cd −−−−−−−−−−−−−−−mnożąc stronami bo L i P≥0 (a+b)(c+d)≥4√abcd 21 lut 22:56 Eta: 21 lut 22:57 Radek: Nie znam tych zależności i nie wiem kiedy ich uzywać więc wolę inne sposoby. 21 lut 22:59 Saizou : Eta jednak średnie nie idą na marne xd 21 lut 22:59 Eta: No to tak: (√a−√b)2≥0 ⇒ a−2√2ab+b ≥0 ⇒ a+b≥2√ab 21 lut 23:01 zombi: Ewentualnie jak nie znasz nierówności Cauchy'ego możesz na chama, tzn. (a+b)(c+d) ≥ 4√abcd ac + ad + bc + bd ≥ 4√abcd (√ac)2 − 2√abcd + (√bd)2 + (√ad)2 − 2√abcd + (√bc)2 = (√ac−√bd)2 + (√ad − √bc)2 ≥ 0 Chyba się nie machnąłem 21 lut 23:02 Radek: Ale ja tam nie mam (√a−√b)2 ? więc skąd się to bierze ? 21 lut 23:02 zombi: Sorki Eta nie wiedziałem, że piszesz, bo sam byłem w trakcie 21 lut 23:02 Radek: Może ktoś wytłumaczyć bez podawania całego rozwiązania od A do Z ? Takie rozwiązanie to mogę znaleźć w internecie... 21 lut 23:08 Eta: Radek nie denerwuj się Takie zależności trzeba znać: bo są bardzo pomocne przy tego typu dowodach np: a2+b2≥2ab lub podobnie a+b ≥2√ab 21 lut 23:12 Radek: Nie denerwuję się tylko proszę o wyjaśnienie. Jak ktoś napisze mi gotowca bez wyjaśnienia to ja nic nie zrozumiem. Ktoś to umie to napisze i do niego jest wszystko jasne, a ja nie rozumiem i dlatego nie chcę gotowców, bo chcę się nauczyć. Ale skąd tam (√a−√b)2 ? 21 lut 23:16 zombi: Eta podała to jako przykład, tylko zamiast a i b musisz dobrać takie liczby, że pasowało do twojego zadania. Patrz na moje rozwiązanie. 21 lut 23:19 Eta: Z takiej zależności (√a−√b)2≥0 −−− która jest zawsze prawdziwa dla a>0 i b>0 otrzymujesz: a−2√ab+b2≥0 , a z niej masz prawdziwą zależność a+b≥2√ab a+b a z niej ,że ≥√ab −−−− to jest nierówność między średnimi am−gm 2 o której pisał Ci Saizou 21 lut 23:21 Radek: a czemu nie np (√c−√d)2 ? 21 lut 23:23 Saizou : ale liczby a,b są umowne równie dobrze mogą być ś,ć ≥0 21 lut 23:24 Eta: No i identycznie (√c−√d)2≥0 ⇒ c+d≥2√cd tak samo dla każdych innych literek >0 np: (√x−√y)2≥0 ⇒ x+y≥2√xy , dla x, y >0 jasne już? 21 lut 23:25 Radek: A w tym zadaniu może być (√a−√c)2 i (√b−√d)2 ? 21 lut 23:27 Mila: Radek, stosujemy różne zależności . Znasz wzory skróconego mnożenia. (a−b)2≥0 dla a,b∊R ta nierówność jest oczywista. ⇔a2−2ab+b2≥0⇔ a2+b2≥2ab Popatrz co napisała Eta My chcemy mieć wyrażenie z pierwiastkiem z prawej strony (√a−√b)2≥0 rozwijamy a−2√ab+b≥0 a+b≥2√ab skorzystałeś z wzoru skróconego mnożenia dla takich dwóch wyrazów aby pasowało do Twojego problemu. podobnie (√c−√d)2≥0⇔ c+d≥2√cd (a+b)*(c+d)≥2√ab*2√cd (a+b)*(c+d)≥4√a*b*c*d Cnw. II sposób Może prościej skorzystac z tego, że : a+b średnia arytmetyczna liczb a i b jest większa lub równa od średniej geometrycznej2 tych liczb √a*b co zapisujemy: a,b,c,d∊R+ a+b≥2√ab c+d≥2{cd} mnozymy stronami (są dodatnie) (a+b)*(c+d)≥4√a*b*c*d cnw 21 lut 23:28 Radek: Dziękuję, tylko ja bym nigdy nie pomyślał o takim rozwiązaniu zadania. 21 lut 23:32 Eta: 21 lut 23:34 Mila: O jakim? 21 lut 23:34 Radek: O rozwiązaniu ze średnimi. 21 lut 23:35 Mila: A przecież znasz tę zależność? Czy zapomniałeś? √3*12=√36=6 7,5>6 21 lut 23:41 Radek: Średnia arytmetyczna jest większa od średniej geometrycznej. 21 lut 23:42 Saizou : kw≥am≥gm≥hm (zapiszę to teraz dla 2 składników a,b) a2+b2 a+b 2 √≥≥√ab≥ 2 2 1 1 +a b 22 lut 09:04 Radek: Wykaż, że jeżeli α jest kątem ostrym spełniającym warunek tg2α−3=0 to sinα > co sα . sin2α−3cos2α sin2α−3−3sin2α=0 Dobrze to zacząłem 22 lut 18:21 Saizou : w sumie tak możesz, wyliczyć sinus i cosinus i porównać xd 22 lut 18:23 Saizou : ale łatwiej tg2α=3 ltgαl=√3 a skoro α jest kątem ostrym to α=60o 22 lut 18:25 Radek: −2sin2α−3=0 2sin2α=−3 22 lut 18:26 Saizou : ale masz źle sin2x−3cos2x=0 sin2x−3(1−sin2x)=0 sin2x−3+3sin2x=0 4sin2x=3 22 lut 18:28 Radek: Dzięki 22 lut 18:30 Mila: x∊(0,900) tg2(x)−3=0⇔ (tgx−√3)*(tgx+√3=0 i tgx>0⇔ π √3 1 π sin=>=cos 3 2 2 3 22 lut 18:34 Radek: To to ma być równanie czy nierówność ? 22 lut 18:35 Mila: Z równania obliczasz x (kąt) , potem sinx, cosx i wykazujesz nierówność. 22 lut 18:38 Saizou : z równania otrzymasz kąt α=60o a potem pokazujesz że sin60>cos60 22 lut 18:38 Radek: czyli mam wyliczać i sin i cos ? 22 lut 18:41 Saizou : tak 22 lut 18:43 Radek: A może ktoś pokazać interpretację graficzną nierówności logarytmicznych ? na dowolnym przykładzie ? 22 lut 18:45 Radek: Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0 /63 2 2a+2b+2c>3a+3b −a−b+2c>0 ? 22 lut 18:54 Saizou : z założenia a0 Iloczyn liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną. Popatrz na wykres. 22 lut 20:43 Radek: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c i d prawdziwa jest nierówność ac + bd ≤ √a2+b2*√c2d2 /2 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2) −a2d2+2abcd−b2c2≤0 / (−1) a2d2−2abcd+b2c2≥0 (ad−bc)2≥0 23 lut 19:46 bezendu: ok jest 23 lut 20:03 Radek: a 1 2a Wykaż, że jeżeli a > 0 ,+≥ 2 2a2 a3+1 2a3+3 2a ≥4a2 a3+1 (2a3+3)(a3+1)≥2a*4a2 2a6+2a3+3a3+3−8a2≥0 2a6−5a3−8a2+3≥0 23 lut 20:55 Radek: ? 23 lut 21:20 zawodus: 2 linijka już źle dodałeś 23 lut 21:21 Radek: Fakt, dzięki 23 lut 21:22 Radek: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n większej od 1 prawdziwa jest nierówność (2n−2)!*(2n−1)*(2n) >2n(2n−1)!*2 2n2−2n>2n 2n2−4n>0 n2−2>0 (n−√2)(n+√2)>0 23 lut 22:19 Mila: Błędy w przekształceniu. 23 lut 22:33 Radek: Tzn w którym miejscu ? 23 lut 22:34 Mila: (2n)! (2n−2)!*(2n−1)*(2n) === (2n−2)!*2 (2n−2)!*2 =(2n−1)*n 23 lut 22:49 Radek: 2n2−n−2n>0 2n2−3n>0 n(2n−3)>0 ? 23 lut 22:53 23 lut 22:56 Radek: ? 23 lut 23:48 Mila: No rozwiąż nierówność w zbiorze N+, sprawdź z założeniem. 24 lut 16:13 Radek: ale tu jest parabola ? 24 lut 16:15 Mila: No to co? nie umiesz rozwiązywać nierówności kwadratowych? W czym problem? 24 lut 16:18 Piotr 10: Po co tak, możesz od razu z założenia zauważyć , że n > 0, z założenia 2n−3 > 0 gdyż wiemy, że z założenia n > 1 24 lut 16:20 Radek: Umiem, ale to wszystko w tym dowodzie ? 24 lut 16:20 Mila: Radek , widzisz prawdziwość nierówności? (patrz komentarz Piotra) 24 lut 16:23 Radek: Wiem jak to rozwiązać ale nie widzę tutaj nic. 24 lut 16:29 Mila: n*(2n−3)>0 i (n∊N+ i n>1) 3 n i n∊N+ i n>1⇔ 2 n∊{2,3,4,5,...} Wykazałeś,że Pierwsza nierówność jest prawdziwa dla (n∊N+ i n>1) 24 lut 16:35 Radek: czemu n0 parabola skierowana do góry 3 n ale n<0 nie odpowiada założeniom, bo n∊N+, to ten przypadek odrzucamy. 2 24 lut 17:13 Radek: Chyba rozumiem, dziękuję. 24 lut 17:22 Mila: Załóż nowy wątek. 24 lut 17:39

jest równa A. 1 4 3. B. 1 2. C. 1 3 D. 3 4 3 Liczba g 3 6 2 9 7 jest równa A. . B. 2 2. C. 2 1 3 D. 1 Wnioski: Zadania w obu grupach są bardzo podobne, a wybór odpowiedzi bardzo różny. Niesatysfakcjonujący jest 52% wybór poprawnej odpowiedzi w grupie A, nad logarytmami uczniowie jeszcze

Co w tym rozdziale?Co to jest równanie ?Równanie – jak je rozwiązać ?Równania – ile rozwiązań może mieć?Co to jest pierwiastek równania ?Układ równańMetoda podstawianiaMetoda przeciwnych współczynnikówMetoda graficznaRównania kwadratoweRównanie kwadratowe prosteRównanie kwadratowe ogólneRównania wykładniczeCo to jest nierówność ?Nierówności kwadratoweNierówności wykładnicze Co to jest równanie ? Równanie – najprościej mówiąc są to dwa wyrażenia algebraiczne, które są połączone ze sobą znakiem równości, np: 5x+3x-6 = 2x-9 Możemy wyróżnić lewą jak i prawą stronę równania. Równanie – jak je rozwiązać ? Rozwiązanie polega na znalezieniu takiej liczby x – niewiadomej, która po podstawieniu, da po prawej i po lewej stronie taki sam wynik, np. (1=1,-4=-4). Żeby rozwiązać równanie, należy przekształcić je w taki sposób, żeby po jednej jego stronie stała tylko sama niewiadoma – x, a po drugiej stronie tylko liczba. Można to osiągnąć na dwa sposoby: – Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania takiej samej liczby (lub wyrażenia z niewiadomą). – Dzielenie lub mnożenie obu stron przez tą samą liczbę. Równania – ile rozwiązań może mieć ? Można spotkać takie, które nie ma rozwiązań (na przykład x^2+9=0).Zdarza się, że ma ich nieskończenie wiele (na przykład x+1=2x+2). Równanie może mieć jedno, ale również wiele rozwiązań. Istnieją jeszcze równania sprzeczne i tożsamościowe. Równania sprzeczne – jest to takie równanie, którego nie spełnia żadna z liczb rzeczywistych. Przykłady równań sprzecznych:√x=-1,x^2+1=0, Równanie tożsamościowe – jest to takie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań. Podstawienie pod niewiadomą dowolnej liczby powoduje otrzymanie równania prawdziwego. Przykłady równań tożsamościowych:x=x, x+1=2x+2Co to jest pierwiastek równania? Pierwiastek jest to inaczej jego rozwiązanie.:) Przykład Rozwiążmy przykładowe zadanie:6x-5x−1=2x+5 Rozwiązanie: Na początku uprościmy lewą stronę odejmując wyrażenia z x-em:x−1=2x+5 Teraz przerzućmy wyrażenie 2x z prawej strony na lewą stronę, żeby po prawej stronie pozbyć się wyrażeń z x-em. Natomiast z lewej, przerzućmy -1 na prawą stronę. Ważne!!! – pamiętajmy o zmianach znaków kiedy przerzucamy wyrazy na przeciwne strony równania!!!x-2x-1=5x-2x=5+1 Dokonajmy obliczeń na stronach:-x=6 Po uproszczeniach otrzymujemy powyższe wyrażenie. Teraz dzielimy obie strony przez liczbę -1, żeby po lewej stronie został sam x (ze znakiem dodatnim).x=-6 Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba x=-6. Układ równań Układem równań – nazywamy co najmniej dwa równania połączone w układ za pomocą klamry. W celu znalezienia rozwiązania układu równań, musimy znaleźć takie wartości zmiennych, które po wstawieniu do równań zwracają wyrażenia prawdziwe. Równania możemy podzielić na podstawie ilości rozwiązań, są to: układ sprzeczny – nieposiadający rozwiązań układ oznaczony – posiadający tylko jedno rozwiązanie układ nieoznaczony – posiadający nieskończenie wiele rozwiązań Aby rozwiązywać układ równań możemy wykorzystać następujące metody: – metodę podstawiania – metodę przeciwnych współczynników – metodę wyznaczników – metoda zaawansowana, wykorzystywania na studiach – metodę graficzną Poniżej opiszę trzy najczęściej wykorzystywane: Metoda podstawiania Metoda ta polega na wyliczeniu jednej zmiennej z dowolnego równania i wstawieniu go do drugiego równania. Najlepiej będzie to zobrazować na przykładzie: Mamy do rozwiązania poniższy układ równań: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Zacznijmy od wyznaczenia z pierwszego równania y, by potem móc podstawić jego wartość do drugiego. \left\{\begin{array}{lr} -y=-2x+3 |*(-1)&\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Teraz możemy podstawić wartość y do drugiego równania: \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5(2x-3)=11 \end{array}\right. Teraz zostaje wyznaczenie z drugiego równania wartości x. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5(2x-3)=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+10x-15=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 13x=26 (|:13) \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ x=2 \end{array}\right. Teraz podstawiamy wyznaczoną wartość x do pierwszego równania: \left\{\begin{array}{lr} y=2*(2)-3 &\\ x=2 \end{array}\right. Tak więc rozwiązaniem układu równań jest para: \left\{\begin{array}{lr} y=1 &\\ x=2 \end{array}\right. Metoda przeciwnych współczynników W celu rozwiązania układu równań tą metoda musimy doprowadzić równania do postaci, gdy przy jednej zmiennej w równaniach znajdują się przeciwne współczynniki. Przykładowo w jednym równaniu przy x mam 3 a w drugim -3. Zastosujmy tę metodę w celu obliczenia tego samego przykładu: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Aby doprowadzić do tego, by przykładowo przy y była ta sama wartość co w drugim równaniu musimy przemnożyć pierwsze równanie przez 5. \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 |*5 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} 10x-5y=15 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Jeżeli dodamy teraz pierwsze równanie do drugiego, to pozbędziemy się y i w drugim równaniu zostanie tylko x i wyraz wolny. +\underline{ \left\{\begin{array}{lr} 10x-5y=15 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right.} 10x+3x-5y+5y=15+11 13x=26 x=2 Mając wyznaczoną wartość x możemy teraz wybrać do którego równania chcemy tę wartość podstawić. W tym przykładzie łatwiej będzie podstawić ją do pierwszego równani: \left\{\begin{array}{lr} 2*(2)-y=3 &\\ x=2 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} 4-y=3 &\\ x=2 \end{array}\right. Rozwiązaniem jest poniższa para liczb: \left\{\begin{array}{lr} y=1 &\\ x=2 \end{array}\right. Metoda graficzna Ta metoda jest najmniej dokładną, przy rozwiązywaniu układów równań. Polega na narysowaniu wykresu z podanych równań. Na początku należy każdy wzór doprowadzić do postaci y=ax+b, a następnie narysować w układzie współrzędnych. W miejscu przecięcia się prostych znajduje się rozwiązanie układu równań. Wykorzystajmy ten sam przykład w celu rozwiązania układu równań: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Przekształćmy powyższe równania do podanej postaci: \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ y=-\frac{3}{5}x+\frac{11}{5} \end{array}\right. Narysujmy teraz podane proste na wykresie:Metoda graficznaJak widzimy tutaj również udało się znaleźć punkt przecięcia, który ma współrzędne x = 2 i y = 1 i jest jednocześnie rozwiązaniem układu równań. Równania kwadratowe Różnica między równaniami liniowymi a kwadratowymi jest taka, że w przypadku równań kwadratowych niewiadoma x pojawia się w drugiej potędze, czyli x^2. Równanie kwadratowe proste Proste równania kwadratowe są równaniami typu:x^2=a gdzie: a – to dowolna liczba rzeczywista. W zależności od wartości parametru a, równanie może mieć różną liczbę rozwiązań. Jeżeli a>0, to równanie ma dwa rozwiązania: x=√a oraz x=−√a. Jeżeli a=0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x=0. Jeżeli a 0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:x_1=\frac{−b-√Δ}{2a}x_2=\frac{−b+√Δ}{2a} Jeśli Δ=0, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:x=\frac{−b}{2a} Jeśli Δ )np. 6x+2\frac{3}{2} Przedział liczbowy można zapisać również w ten sposób: x∈(\frac{3}{2},+∞)Równania i nierówności – Przedział liczbowy Ważne!!!– Nierówności liniowe można rozwiązywać praktycznie tak samo jak równania liniowe. Pamiętajmy jednak o tym, że gdy mnożymy lub dzielimy nierówność stronami przez liczbę ujemną, to zmieniamy znak nierówności (tak jak w powyższym przykładzie). Nierówności kwadratowe Jedyna różnica między równaniami kwadratowymi a nierównościami kwadratowymi jest taka, że w równaniach występuje znak "=" i wynikiem jest konkretna para pierwiastków lub jeden pierwiastek. Natomiast w nierównościach kwadratowych występują znaki ,≥ a wynikiem nie jest konkretnie pierwiastek a jakiś zbiór rozwiązań. Czyli, jeżeli mamy taki przykład:x^2+x-12 = 0 gdzie po wyznaczeniu pierwiastków (liczymy normalne równanie kwadratowe więc musimy wyznaczyć deltę, a następnie korzystając ze wzorów na pierwiastki znaleźć odpowiednie rozwiązania) otrzymujemy takie wyniki: x_1 = -4 i x_2 = 3 i jest to ostateczne rozwiązanie. Natomiast jeżeli mamy taki sam przykład ale zamienimy znak "=" na znak nierówności np. ">" wtedy rozwiązaniem jest zbiór liczb:x∈(-∞,-4)∪(3,+∞) (wykonujemy takie same obliczenia jak przy równaniu kwadratowym, czyli liczymy deltę i pierwiastki z dobrze nam znanych wzorów na x_1 i x_2, następnie rysujemy wykres paraboli uwzględniając pierwiastki równania. Sprawdzamy jak skierowane są ramiona paraboli i wyciągamy odpowiednie wnioski podając przedział liczbowy spełniający nierówność):Przykład nierówności Nierówności wykładnicze Nierówność wykładnicza to nierówność, w którym niewiadoma x występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykład:5^x≥125 Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, należy obie strony nierówności zapisać w postaci potęgi o tej samej Następnie porównujemy wykładniki:x≥3 ! Pamiętaj ! Jeżeli podstawa potęgi jest ułamkiem mniejszym od 1, to przechodząc do nierówności na wykładnikach należy zmienić znak nierówności na przeciwny. Czyli, jeżeli odrobinę przekształcimy nasz przykład:(\frac{1}{5})^x≥\frac{1}{125}(\frac{1}{5})^x≥(\frac{1}{5})^3x≤3Sprawdź również:Zadania zamknięteĆwiczenia krótkiej odpowiedziZadania otwarte Musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność: Rozpiszmy to: Wiemy, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, dlatego: Pamiętając, że mamy: Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest zawsze dodatnia, co udowadnia naszą tezę. #SPJ4

Przejdź do zawartości Ile dni do matury?KontaktMoje kontoKoszyk Kursy WideoKursy E-bookKorepetycjeFiszkiNotatki i ZadaniaO NasBlog Równania z niewiadomymiPiotr Tomkowski2021-09-18T15:16:10+02:00 Zadania maturalne z Matematyki Tematyka: algebra: równania z niewiadomymi, wzory skróconego mnożenia. Zadania pochodzą z oficjalnych arkuszy maturalnych CKE, które służyły przeprowadzaniu majowych egzaminów. Czteroznakowy kod zapisany przy każdym zadaniu wskazuje na jego pochodzenie: S/N – „stara”/”nowa” formuła; P/R – poziom podstawowy/rozszerzony; np. 08 – rok 2008. Zbiór zadań maturalnych w formie arkuszy, możesz pobrać >> TUTAJ 0 nie należy liczba: Zadanie 10. (NP17) Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2−3x≥4. Zadanie 11. (NP17) Równanie x(x2−4)(x2+4)=0 z niewiadomą x: Zadanie 12. (NP18) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest przedział: Zadanie 13. (NP18) Rozwiąż równanie (x3+125)(x2−64)=0. Zadanie 14. (SP15) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest przedział: Zadanie 15. (SP15) Rozwiąż równanie 4x3+4x2−x−1=0. Zadanie 16. (SP16) Rozwiąż równanie x3+3x2+2x+6=0. Zadanie 17. (SP14) Wspólnym pierwiastkiem równań (x2−1)(x−10)(x−5)=0 i jest liczba: Zadanie 18. (SP14) Rozwiąż równanie 9x3+18x2−4x−8=0. Zadanie 19. (SP13) Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x2+3)=0 jest równa: Zadanie 20. (SP13) Rozwiąż równanie x3+2x2−8x−16=0. Zadanie 21. (SP12) Liczby x1=−4 i x2=3 są pierwiastkami wielomianu W(x)=x3+4x2−9x−36. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. Zadanie 22. (SP11) Rozwiązanie równania x(x+3)−49=x(x−4) należy do przedziału: Zadanie 23. (SP11) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest przedział: Zadanie 24. (SP10) Dane są wielomiany W(x)=−2x3+5x2−3 oraz P(x)=2x3+12x. Wielomian W(x)+P(x) jest równy: Zadanie 25. (SP10) Rozwiązaniem równania jest: Zadanie 26. (SP10) Rozwiąż równanie x3−7x2−4x+28=0. Zadanie 27. (SP09) Wielomian W dany jest wzorem W (x) = x3 + ax2 − 4x + b a) Wyznacz a,b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P , gdy: P (x) = x3 + (2a + 3)x 2 + (a + b + c)x − 1 . b) Dla a = 3 i b = 0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. Zadanie 28. (SP08) Dany jest wielomian W (x) = x3 − 5x2 − 9x + 45. a) Sprawdź, czy punkt A = (1,30) należy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. Zadanie 29. (SP07) Dany jest wielomian W (x) = 2x3 + ax2 − 14x + b . a) Dla a = 0 i b = 0 otrzymamy wielomian W (x) = 2x 3 − 14x . Rozwiąż równanie 2x3 − 14x = 0 . b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W (x) był podzielny jednocześnie przez x− 2 oraz x+ 3 . Zadanie 30. (SP06) Liczby 3 i –1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x3+ax2+bx+30 a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. Zadanie 31. (SP05) Dany jest wielomian W(x)=x3+kx2-4 a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x + 2 b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki. Strona wykorzystuje pliki cookies, by działać prawidłowo oraz do celów analitycznych, reklamowych i społecznościowych. OK, Rozumiem Privacy Overview This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Out of these cookies, the cookies that are categorized as necessary are stored on your browser as they are as essential for the working of basic functionalities of the website. We also use third-party cookies that help us analyze and understand how you use this website. These cookies will be stored in your browser only with your consent. You also have the option to opt-out of these cookies. But opting out of some of these cookies may have an effect on your browsing experience. Necessary cookies are absolutely essential for the website to function properly. This category only includes cookies that ensures basic functionalities and security features of the website. These cookies do not store any personal information.

Rozwiązanie zadania z matematyki: Dla jakich wartości parametru m nierówność x^{2}-2^{m+2}x-2^{m-3}>12 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. , Z parametrem, 7852115

^{Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.}

Sprawdź, czy podana nierówność jest prawdziwa. Rozwiązanie: Zaloguj się lub stwórz nowe konto aby zobaczyć zadanie!

NXQ5.